新增 Black-Scholes Model 理論價格與隱含波動率

(原貼：2009/1/23)

從早期網頁剛開始分享權證資料時，很多網友建議放上Black-Scholes Model的理論價格與隱含波動率的比較資料，作為投資人選擇權證的參考依據。筆者一直不喜歡這個想法(擔心投資人只以此指標作為選擇權證的依據)，也認為網頁上提供的相關資料已經相當足夠投資人評斷權證優劣，投資人可參考此合理權證網頁的說明：http://tw.myblog.yahoo.com/warrant_oskwu/article?mid=161&prev=-1&next=160。

時代在進步，權證網頁的資料也不可原地踏步，否則很快就會淘汰，被網友吐口水(在此也感謝之前寫email鼓勵筆者的網友：各位的鼓勵是筆者努力改善的泉源！)。近來隨著權證發行檔數暴增，網友們的權證投資的操作技巧，也應該都經過相當的磨練。因此趁著春節長假期，特別K了相關書籍與論文，再把標的股與權證的相關資料庫建立起來，將歷史波動率、理論價格與隱含波動率資料增加於網頁上，以供網友參考。

然而，盡信公式不如不要公式，凡是理論就一定會有假設，完美公式的假設前提也通常不完美。網友要應用理論數據作為投資決策參考時，更不可不知其應用資料的假設前提與使用限制，否則誤用公式吃虧了還是自己。

此處將簡單介紹BS公式；與筆者網頁上資料數據的推算基礎；最後說明BS Model的假設前提，以使網友了解使用此理論數據的背景。

(一) 歷史波動率與理論價格推估
 
1. Black-Scholes假設股價波動為幾何布朗運動(Geometric Brownian Motion)，並應用Ito's Lemma導出偏微分方程式，再以變數轉換與熱傳導方程式，導出了歐式買權定價模式，所幸吾輩不必去學習推導過程，只要欣賞其美妙公式即可：

 
2. 變數說明：
Wc：認購權證理論價格
Wp：認售權證理論價格
S：目前標的股價格
K：履約價格
Cr：行使比例
σ：歷史波動率，以股票報酬之年化標準差(每年以240個交易日估計)推估
r：無風險利率(以年率1.5%推估)
T：距到期日年數(此處以可交易日推算到期年數，每年以240個交易日估計)
N(d)：標準化常態分配的累積機率分配函數

3. 其中以歷史波動率(σ)之推算較複雜，本網頁所採用方式為：
 
(1) 先求每個交易日報酬率：Rt=ln(St/St-1)   (Rt為第t個交易日的報酬率, St為第t個交易日的股價, St-1為第t-1個交易日的股價)
 
(2) 再求每個交易日報酬率的標準差：σd=√[Σ(Rt-Re)^2/(n-1)]   (Re為Rt的平均數, 並以n=240個交易日的樣本資料來推估σd)
 
(3) 轉換為年化報酬率標準差(即歷史波動率)：σ=  σd × √240   (每年以240個交易日估計)

(二) 隱含波動率
 
隱含波動率的意義是指以目前市場的權證價格回推至BS 公式，所得到σ即稱為隱含波動率；表示以此隱含波動率所代表的理論價格即為目前市場的權證價格。換句話說，若以相同標的股的權證而言，其隱含波動率較小者，投資價值相對較高。(當然網友必須切記, 標的股的前景才是權證最重要的考量，還是要再看看這一篇：http://tw.myblog.yahoo.com/warrant_oskwu/article?mid=161&prev=-1&next=160)

(三) 假設前提
 
當然Black-Scholes Model以簡潔的公式來推算複雜的選擇權理論價格(權證也是選擇權的一種)，投資人也必須了解其基本假設前提，以免誤用。
 
1. 資本市場為完全競爭市場，且無交易成本(無手續費與相關稅賦)。
 
2. 股價服從隨機漫步(Random Walk)過程，並符合對數常態分配，即股價報酬率分配為常態分配，其標準差已知且固定。
 
3. 到期日方可履約(即指歐式)，且到期前不發放股利。

4. 投資人都可以用已知的無風險利率借貸，並可無限制進行放空交易。
 
看吧！這些假設與實際市場的出入甚多，要用它就必須特別小心。然而，即便許多假設前提未必與事實相符，卻不能抹滅此一獲得諾貝爾獎的公式的偉大，它於1973年被提出，解決70年代以前選擇權評價的困擾，也為選擇權評價提供了一般性的思考範圍。後續也有許多學者提出相關修正模型，如CEV模型、CRR模型，當然也有二項式評價模型...等等。於此就不再一一介紹，有興趣的網友可上網搜尋。

公式理論是死的，人是活的。切記！務必參考此篇：http://tw.myblog.yahoo.com/warrant_oskwu/article?mid=161&prev=-1&next=160

◎ 附註：
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經濟「壞」的省思 - 經濟可以更好的，假如不過度投資中國的話

(原貼：2008/1/20)

經濟「壞」的省思 - 經濟可以更好的，假如不過度投資中國的話
 
筆者認為以實質GDP的角度來考量，台灣不僅沒衰退，而且表現數字還不比韓國差，甚至在匯率與物價的控制上優於韓國甚多，詳細可參考筆者之台韓經濟比較文(一、二、三)。台灣經濟雖然表現平穩，但是應該可以表現得更好。不能表現得更好的原因是：過度投資中國，而非某些媒體政治人物所說的鎖國。雖然台灣執政黨一直提控管台灣投資中國的政策。筆者認為卻是做得極差，否則台灣經濟表現會更好，這樣的失敗的政策執行，執政黨應該被譴責。轉型正義沒作好，投資中國的控管沒最好，如何期待這樣的執政黨有所作為？然而，若是換黨執政，會更好嗎？分析完為何過度投資中國會讓台灣經濟表現更差的說明後，也許會稍稍了解是否換黨執政會更好？

經濟學的國民所得很簡單的公式是：Y = C + I + G + ( X - M )，C:消費、I:民間投資、G:政府投資、X:出口、M:進口。這是總體經濟學上計算國家經濟的指標，分別說明如下：

「I：投資」

台灣投資中國的金額逐年攀登，這是報導的數字：「台灣對中國投資占ＧＤＰ之比由二○○○年的○．八一％增加到二○○六年的二．一五％，比同時期美國的○．○二％、日本○．一％、韓國的○．四四％高出非常多，而台灣對中國投資占整體對外投資的比重，二○○○年為三十三．九三％，至二○○五年增加到七十一．○五％，與日本的十八．九四％、韓國的四十七．三八％相比，也是過度且不成比例的偏高，台灣對中國的投資是過熱而不是不足。」這樣的投資額度若是投在台灣，除了實際上的對國民所得的效益外，也會透過「乘數效果」(註)，以等比級數的方式增加國內的生產毛額，政府無法有效控管對中國的投資，無法讓這些錢有效留在台灣，當然國民所得表現無法更進一步。

「C：消費」

隨著台灣過度投資中國，很多台灣人滯留中國，不管是以台商、台幹、台勞或台流的方式停留在中國，估計至少百萬人或更多。這些自願或被迫前往中國的台灣人，也是消費能力最強的一群，然而這麼多人滯留中國，有些甚至把家人帶到中國定居中國，而無法在台灣消費，當然也是造成台灣經濟無法更好的原因。記得之前騎車到308高地，暫時停業的餐廳老闆回憶起早年每到假日人滿為患的景氣，感嘆現今景氣與人潮的衰退，筆者認為，百萬人以上的台灣人滯留中國，每到假日也大都在中國的景點休假，到308高地來玩的人當然就變少了。政府在台灣對中國投資的控管不力，這些人到中國去也難以避免。可以想像，若是台灣對中國投資更加開放的話，會有更多台灣人前往中國，恐怕民間消費會更慘，透過乘數效果的不良循環，國民所得會更差。

另外需要譴責的是那些領著18%優厚退休金的公務人員或國軍將領，長期停留在中國，卻拿著台灣的錢到中國消費，這無助於台灣經濟的發展。筆者認為雖然人有遷徙的自由不可限制，然而對於那些領有國家優渥的退休金者，應要求每年至少要有固定的時間(至少一半)居留台灣，否則應對其優渥不公平的退休金加以限制。

「G：政府投資」

這點就要譴責在野黨，過去屢屢把國家預算當作政治籌碼，阻饒預算之審查與通過，政府預算無法通過，新增的政府的投資也就無法執行，當然國民所得也會被影響，到底會影響多大，政府竟然無人可以提出數字，這也是執政黨無能的地方，每每在野黨有人提出經濟差，卻沒有執政黨的人可以提出因為預算被阻擋，透過乘數效果導致國民所得減少多少。反倒是是有人提出經濟差，執政黨的人還心虛的無法回應，好像真有其事，真是無能的執政黨，竟然沒有聽到政策辯護：如在野黨阻饒預算，國家經濟影響多少？過度投資中國，民間投資與民間消費的影響多少？

「X - M：出口減進口」

其實台灣在匯率的控管上遠優於韓國，這也可穩定出口減進口的成長。之前看到在野黨以韓國人批評台灣經濟表現不好的廣告，真是令人噁心。韓國人何必涉入台灣政治呢？台灣經濟的表現輪不到韓國人來批評，然而，卻也看不到執政黨的辯護，好像台灣經濟真的表現比韓國差，真是夠了。韓國人比台灣強的地方是他們夠團結、民族自尊心強，這點是台灣遠遠比不上的地方，在台灣這塊土地上，有人還認為自己是中國人，不敢喊出自己是台灣人不是中國人。明明台灣過度投資中國，導致經濟成長不夠好，還說台灣鎖國。
回到換黨執政是否更好？上述已經解釋對中國開放投資如何損害台灣經濟成長，假如說在野黨提出更加開放中國的政策，筆者認為那只會導致台灣經濟表現更差，台灣目前對中國的投資已經過度，如何可以再忍受另一個政黨以更加開放中國投資的政策來執政？
以色列這個國家大家都知道，也人人都豎起大拇指說這個國家有尊嚴，若是以住在台灣的中國人角度來看，應該有人會笑說：「幹嘛爭取國家尊嚴，拼經濟比較重要吧。」這就是台灣最大的問題，試想若是那些阿拉伯國家以超過千顆飛彈對準以色列，他們國內絕沒有人會說拼經濟就好？

註：「乘數效果」是說：每一元投資或消費，變成某人的所得，其中有一部份會被拿出來消費，然後那一部份又變成某某人的所得，其中另一部份會被拿出來消費...如此循環不已，所以說每一元的消費或投資增加會讓國民所得增加不只一元，這就是乘數效果。

◎ 附註：

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股票和基金，本質上跟本就是一樣的東西! 是「騙人」？

(原貼：2008/1/19)

這是回覆網友的討論...
的確基金跟股票是一樣的東西, 這一點小弟是認同的.
至於是不是騙人的？這就見仁見智了...
假如不是騙人的,它就騙不到你,
即便是騙人的,若你不給它騙,它也騙不到你.
基金的標的是在有價證券,既然有價就表示會有漲跌,差別是標的漲跌的幅度,
漲跌的幅度套句投資學的說法,就是風險.
這就跟買股票一樣,要認清楚自己所買的標的,它的成長性與風險性,在決定要不要去承擔它的風險.
這也牽扯到每個人對投資的期待不同,也會因應出不同的投資策略.
若是認為基金會騙人, 那也只能說自己對投資的認識不清,寧願被騙.
 
小弟對基金一直沒有好感主要原因有二：
1. 基金的交易成本過高,
2. 基金經理人真的夠專業嗎?
 
(老實說,與其要投台灣的基金還不如去買0050的台灣50,流動性、交易成本都比基金還優異。)
然而,基金仍然有股票所沒辦法企及的地方,
 
基金可以幫助你投資國外,假如你認為國外某市場有機會的話.(雖然小弟從不買國外基金)
其次,它的標的如原料、能源或其他標的的view會比股票還廣.
至於很多人認為的分散風險就是多投幾家公司,的確這是從統計學中變異數的角度來看,
然而,是不是這樣就賠得比較少,那也未必.有時候認真研究一檔股票反而賠得少.

也許大大可以參考：漲賣跌買定價定量之操作模擬，這個方法是以機械式的操作去建立一個低買高賣的機制,有興趣的話找個標的一起在此討論串去模擬看看.也許會有意想不到的效果.

◎ 附註：

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台灣與韓國之GDP比較(完)

(原貼：2008/1/6)

其實該說該比較的已經在(續)中表達完畢，只是有起頭、有續集，應該再來個(完)，這樣三部曲也算是稍微完整。
 
簡單的結論是：台灣與韓國的經濟力，絕不像部份媒體與政治人物的所說得那麼差距那麼遠，反之台灣也有突出的地方。那些狗屁倒灶的媒體與政治人物胡扯些顛三倒四的數字，利用媒體強勢，想要呼嚨台灣人民，豈能簡單得逞？

至於經濟是否能夠簡單的與政治一刀兩斷切實分開，這個報導其實就已經說明了一切：「美國民主黨熱門總統參選人奧巴馬在作出有關一旦當選總統將禁止中國玩具進口的承諾數日後主動改口。」一個原本放話說要禁止中國玩具進口至美國的總統候選人改變了說法，這是純經濟議題嗎？難道沒有政治考量在裡面。那些標榜只討論經濟不觸及國家定位的候選人，真能在追求經濟發展的過程中，不用碰觸政治問題？更何況，那些人還都是一昧的認為前進中國、投資中國，才是改善台灣經濟的唯一方向。
 
台灣投資中國的部份已經過多了，有多少錢在中國？有多少台灣人在中國？這些數字逐年攀高，過度投資中國後果，將會反噬台灣，先是在經濟面上掏空台灣，繼之在政治面上併吞台灣，我們應該思考的是如何限制投資中國，而考慮在台灣扶植品牌的建立與技術的創新，此二者才能提高產品服務的附加價值。也唯有此，台灣才能避免與中國在降低成本的惡戰中淪陷。台灣有個太平洋自行車就是最好的例子。

「生於憂患，死於安樂。」是大家從小就背過的句子，台灣的情形就是如此，也相信會持續好久。在台灣國內、外都有威脅的同時，台灣也沒就此倒下，過去不會，將來也不可能。

這是小弟跟跟網友交流的一段話，作為此話題的結論：
 
「威權黑金該下台」，這是毋庸置疑的事情。「無能貪腐該下台」，這也是天經地義的事情。但是問題是誰比較「威權黑金」與「無能貪腐」？人民的心中都會有一把尺，可不是部份媒體與政治人物說了算。小弟也希望政黨輪替的常態能發生在台灣，然而卻不希望台灣未來的執政權淪落到不義黨產滿手，心繫中國的政黨來帶領台灣；希望帶給我們生活更富足、更幸福的政黨來執政，更希望能帶領台灣邁向獨立自主的正常化國家，能讓台灣擁有自由民主與人權的制度，誰能最到這一點，小弟就支持誰。

 ◎ 附註：

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台灣與韓國之GDP比較 (續)

(原貼：2007/12/24)
國民所得說明(二) 台灣 vs 韓國

之前一篇台灣與韓國的國民所得比較，結論有些倉促，也可能導致有些網友誤解，所以有必要在針對台韓兩國的數字再做說明。(若網友不滿意小弟的解釋，可直接去看前一篇的IMF(國際貨幣基金)的數字。)
 
為了避免物價與匯率因素的干擾，要比較國民所得應該是要用平準後(PPP)的國民所得數據，各國之間的比較才算是公允，因此繼上一篇的解釋後，小弟重列幾項看法如下：
 
(1) 實質國民所得，台灣仍然優於韓國，且差距自2000年的5,888擴大到2006年的6,603，就淨差額的部份，台灣的表現是優於韓國。然而，就2000年自2006年國民所得成長的部份，韓國的49%明顯優於台灣的39%，其主要原因在於韓國2000年時基期的數字較小，換算成長率時較有利。
 
(2) 物價膨脹與匯率波動，台灣則明顯優於韓國，自2000年至2006年以來，韓國物價膨脹達20.48%，台灣則為4.07%(表現與新加坡略同)；匯率波動韓國為-14.2%~15.55%，相對台灣的-10.75%~-3.01%(表現優於新加坡)。
 
(3) 雖說以美元計價的名目國民所得的數據，韓國的表現較台灣搶眼，也是部份媒體與政治人物極力吹捧的地方；然而，細觀其內涵可以發現，韓國以物價膨脹與貨幣升值為代價，若這樣高物價膨脹率與不穩定的匯率發生在台灣，這些媒體與政治人物能接受嗎？


◎ 附註：

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台灣與韓國之GDP比較

(原貼：2007/12/21)

GDP：台灣 vs 韓國
 
很久以前就想聊聊這個問題，每每看到媒體與政治人物談到國民所得，總是呲牙咧嘴的吹捧韓國，看衰台灣的經濟與未來，總覺得不吐不快。網路這東西真好，寫了這文章，喜歡者閱之、不喜歡不鳥之，筆者不敢妄言台灣與韓國的優劣與好壞，只想以過去有限的所學，分享國民所得的概念，讓大家看看IMF(國際貨幣基金)所公佈的數據，也歡迎大家討論。(以下資料是小弟前往IMF的網站抓取，網友有興趣可以自行前往抓取：http://www.imf.org)
國民所得用最簡單表示法就是PxQ，而且為了比較通常都會以美元計價，沒錯2006年每人名目GDP，台灣的確是低於韓國，大概是USD$ 15,936 vs USD$18,392；2000年時台灣的確是是高於韓國，USD$14,426 vs USD$10,891，見表一，從數字上看來台灣的確是被韓國趕過。然而，深入探討數據的內容卻未必如此，怎麼說呢？GDP的算法最簡單來說是=PxQ，而且以美元計價，所以這裡面牽扯到兩件事情；物價波動與匯率變化，當我們用每人名目GDP比較時各國差異時，必須小心物價與匯率，因為物價與匯率的變化，會直接的影響名目GDP。

 
(1) 物價波動(見表二)
 
若以2000年為基準的話，台灣到2006年的物價膨脹率是4.07%與新加坡差不多，而韓國的物價膨脹率卻高達20.48%，可能很多人都不知道這個數字，因為有太多媒體與政治人物不會講出台灣做得比韓國好的地方，試想這麼高的物價膨脹率若發生在台灣，媒體與政治人物可能飛天了。

 
(2) 匯率變化(見表三)
 
同樣以2000年為基準來看，再經歷亞洲金融風暴的匯率大貶後，2006年韓國匯率升值達15.55%，而台灣還略貶值了4.21%，匯率穩定程度除了香港與中國連動的固定匯率下，台灣的表現遠勝於韓國，與新加坡略同。經濟學上，升值或貶值均各有優缺點，然而以台灣此海島型國家，內需有限發展的空間下，出口是提升經濟的重要方向，維持略微貶值的匯率對出口有幫助。若這幾年來台灣匯率上下變化的幅度約為10.75%(Max-min)，韓國卻高達29.75%，這樣大的匯率變化若發生在台灣，媒體與政治人物可能鑽地了。



最後，介紹物價與匯率的影響後，再來看看IMF平準後的每人GDP(見表四)，台灣與韓國2006年的表現分別30,687(Current international dollar)與24,087，相較於2000年的22,067與16,179，台灣成長8,620比香港與新加坡差，但略優於韓國的7,908；而就成長率來看，台灣的39.1%的確是比韓國的48.9%差。


 
結論：
 
老實說，台灣的表現在IMF分類為「Newly industrialized Asian economies」四個經濟體中表現，相對較差，但與韓國相比各有優劣，若僅就每人實質GDP，台灣的表現並不差於韓國，絕非部份媒體與政治人物所說的「台灣遠遜於韓國，而且差距越來越遠。」，還找個韓國人拍廣告來指責台灣(真是夠了)。以上數據全來自IMF，筆者只是詳盡的表達台灣與韓國的表現，說明其數據差異，至於好或不好，判斷自在人心。此外，比起新加坡與香港來看，某些部份的確不如人，台灣的確有加強的必要。
 
附註：
 
最後有些眼尖的網友可能看見表內的台灣，IMF寫的是「Taiwan Province of China」or「Taiwan POC」，所有文件寫的都是「中國的台灣省」，看了之後內心在淌血，很想改為「Taiwan」，不過為了忠於原來IMF的資料表現，以及讓網友知道IMF對台灣的定位，只好邊傷心邊打字。
 
台灣若不拼進聯合國，還都只是中國的台灣省，以最近「美國民主黨總統候選人奧巴馬在12月19日表示，在出現一系列安全問題後，如果他當選美國總統，他就會禁止中國所有的玩具，還會對中國進口商品採取更強硬的檢查。」這樣的趨勢難保不會在其他國家發酵，外國人若還是認為台灣是中國的一省，那台灣生產的產品被誤認是中國的產品，除了價錢抬不高外，還有可能沒辦法出口的風險。如此，台灣的廠商就吃虧了，政治與經濟如何完全分得開來談呢？
 
至於如何拼進聯合國，小弟認同林義雄先生的說法，不管入聯或返聯，小弟都會去投贊成票，只要能跟中國有區別，而且進得了聯合國，台灣就可脫掉「中國的台灣省」這件羞恥的外衣，要用台灣或中華民國都贊成。

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股市漲跌 vs 政治環境

(原貼： 2007/12/19)

在台灣政治的不安一直存在，股市大跌找不到理由時，可以推給政治不安；其實股市大漲的時候，台灣的政治又何嘗安定過？未來無論誰執政，只怕政局更是不安，難道台灣就不會再有多頭？

沒錯，政治跟經濟有關，而且關係密切。然而，股市上上下下跑，也是必然的常態。再怎麼安定的政治環境，股市還是會震盪，還是有多頭跟空頭，怕是投資人看不清楚股市循環的常態，一昧的在高點上追求更高點，能不慘套也難。股市的循環如同自然中的黑夜與白天，有時黑夜長些、有時白天長些，總是會循環的。

1990年剛解嚴不久，照很多人的講法是「政治安定」，股市卻從12,682殺到2,485，中間不過9個月。很多人認為的政治安定，發生大空頭。七年後，股市再上萬點。
 
而綠色執政後，政治比之前更民主、更自由，當然也相對不安定，股市(2000年)當年也從10,328下殺到4,555，隔年再殺到3,411，直到今年(2007年)10月才又接近萬點，也過了七年。

若過去七年政治更安定的話，台灣股市的高點可能會跟國際股市一樣創新高，到達一萬二千或一萬五千。然而，試想一下從近萬點殺下來很多人都沒躲過，投資人怎麼會有信心從一萬二或一萬五殺下來時，投資人能過順利閃過？怕只怕死得更慘。循環是必然的，政治不安也是一直存在著，若心態不變無論是從萬點或是從一萬五千點殺下來，躲不掉的還是躲不掉。
政治與經濟息息相關，密不可分。股市的上下循環卻是必然的常態，差別只是震幅的大小。只是又有誰能知道合理震幅的大小呢？

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