新增 Black-Scholes Model 理論價格與隱含波動率

(原貼：2009/1/23)

從早期網頁剛開始分享權證資料時，很多網友建議放上Black-Scholes Model的理論價格與隱含波動率的比較資料，作為投資人選擇權證的參考依據。筆者一直不喜歡這個想法(擔心投資人只以此指標作為選擇權證的依據)，也認為網頁上提供的相關資料已經相當足夠投資人評斷權證優劣，投資人可參考此合理權證網頁的說明：http://tw.myblog.yahoo.com/warrant_oskwu/article?mid=161&prev=-1&next=160。

時代在進步，權證網頁的資料也不可原地踏步，否則很快就會淘汰，被網友吐口水(在此也感謝之前寫email鼓勵筆者的網友：各位的鼓勵是筆者努力改善的泉源！)。近來隨著權證發行檔數暴增，網友們的權證投資的操作技巧，也應該都經過相當的磨練。因此趁著春節長假期，特別K了相關書籍與論文，再把標的股與權證的相關資料庫建立起來，將歷史波動率、理論價格與隱含波動率資料增加於網頁上，以供網友參考。

然而，盡信公式不如不要公式，凡是理論就一定會有假設，完美公式的假設前提也通常不完美。網友要應用理論數據作為投資決策參考時，更不可不知其應用資料的假設前提與使用限制，否則誤用公式吃虧了還是自己。

此處將簡單介紹BS公式；與筆者網頁上資料數據的推算基礎；最後說明BS Model的假設前提，以使網友了解使用此理論數據的背景。

(一) 歷史波動率與理論價格推估
 
1. Black-Scholes假設股價波動為幾何布朗運動(Geometric Brownian Motion)，並應用Ito's Lemma導出偏微分方程式，再以變數轉換與熱傳導方程式，導出了歐式買權定價模式，所幸吾輩不必去學習推導過程，只要欣賞其美妙公式即可：

 
2. 變數說明：
Wc：認購權證理論價格
Wp：認售權證理論價格
S：目前標的股價格
K：履約價格
Cr：行使比例
σ：歷史波動率，以股票報酬之年化標準差(每年以240個交易日估計)推估
r：無風險利率(以年率1.5%推估)
T：距到期日年數(此處以可交易日推算到期年數，每年以240個交易日估計)
N(d)：標準化常態分配的累積機率分配函數

3. 其中以歷史波動率(σ)之推算較複雜，本網頁所採用方式為：
 
(1) 先求每個交易日報酬率：Rt=ln(St/St-1)   (Rt為第t個交易日的報酬率, St為第t個交易日的股價, St-1為第t-1個交易日的股價)
 
(2) 再求每個交易日報酬率的標準差：σd=√[Σ(Rt-Re)^2/(n-1)]   (Re為Rt的平均數, 並以n=240個交易日的樣本資料來推估σd)
 
(3) 轉換為年化報酬率標準差(即歷史波動率)：σ=  σd × √240   (每年以240個交易日估計)

(二) 隱含波動率
 
隱含波動率的意義是指以目前市場的權證價格回推至BS 公式，所得到σ即稱為隱含波動率；表示以此隱含波動率所代表的理論價格即為目前市場的權證價格。換句話說，若以相同標的股的權證而言，其隱含波動率較小者，投資價值相對較高。(當然網友必須切記, 標的股的前景才是權證最重要的考量，還是要再看看這一篇：http://tw.myblog.yahoo.com/warrant_oskwu/article?mid=161&prev=-1&next=160)

(三) 假設前提
 
當然Black-Scholes Model以簡潔的公式來推算複雜的選擇權理論價格(權證也是選擇權的一種)，投資人也必須了解其基本假設前提，以免誤用。
 
1. 資本市場為完全競爭市場，且無交易成本(無手續費與相關稅賦)。
 
2. 股價服從隨機漫步(Random Walk)過程，並符合對數常態分配，即股價報酬率分配為常態分配，其標準差已知且固定。
 
3. 到期日方可履約(即指歐式)，且到期前不發放股利。

4. 投資人都可以用已知的無風險利率借貸，並可無限制進行放空交易。
 
看吧！這些假設與實際市場的出入甚多，要用它就必須特別小心。然而，即便許多假設前提未必與事實相符，卻不能抹滅此一獲得諾貝爾獎的公式的偉大，它於1973年被提出，解決70年代以前選擇權評價的困擾，也為選擇權評價提供了一般性的思考範圍。後續也有許多學者提出相關修正模型，如CEV模型、CRR模型，當然也有二項式評價模型...等等。於此就不再一一介紹，有興趣的網友可上網搜尋。

公式理論是死的，人是活的。切記！務必參考此篇：http://tw.myblog.yahoo.com/warrant_oskwu/article?mid=161&prev=-1&next=160

◎ 附註：
1. 【老狗的理財學園】：http://0050-option.blogspot.tw/2013/08/blog-post_19.html

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